В составе дистрибутивов имеются стандартные пакеты для работы Curl в PHP. Установка выполняется в 2 простых шага, а настройка выполняется "по умолчанию" автоматически (для нужд разработки этой настройки хватает на 100%):

1. Установка

sudo apt-get intsall php-curl

В некоторых версиях дистрибутивов пакет может называться иначе, ниже полный набор примеров:

sudo apt-get install php5.6-curl
sudo apt-get install php7.0-curl
sudo apt-get install php7.1-curl
sudo apt-get install php7.2-curl

Чтобы найти, как в Вашем дистрибутиве называется пакет, можно воспользоваться поиском по репозиторию:

root@hostname:~# apt-cache search php-curl
php-curl - CURL module for PHP [default]
php7.0-curl - CURL module for PHP

В случае моей ОС (Debian 9, stretch) пакет называется php7.0-curl, а также имеется "виртуальный пакет" php-curl, установка которого приведет к установке того же самого php7.0-curl:

2. Перезапуск сервисов

После установки Curl нужно перезапустить Web-сервер для применения изменений. В случае php-fpm это выглядит так (Debian 9, stretch):

sudo service php7.0-fpm restart

На других версиях дистрибутива команда может отличаться:
 

sudo service php5.6-fpm restart
sudo service php-fpm restart
sudo service php7.0-fpm restart
sudo service php7.1-fpm restart
sudo service php7.2-fpm restart

Найти, как называется сервис у Вас, можно следующим образом:

root@hostname:~# service --status-all | grep fpm
  [ + ]  php7.0-fpm

В моем случае сервис называется php7.0-fpm